پاسخ کاردرکلاس صفحه 8 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: نمودار ون نشان می‌دهد که مجموعه‌ی A به طور کامل درون مجموعه‌ی B، و مجموعه‌ی B به طور کامل درون مجموعه‌ی C قرار دارد. این یعنی هر عضو A عضوی از B هم هست ($A \subseteq B$) و هر عضو B عضوی از C هم هست ($B \subseteq C$). در نتیجه، هر عضو A عضوی از C نیز می‌باشد ($A \subseteq C$). * **$A \subseteq B$ (درست):** زیرا دایره‌ی A کاملاً داخل دایره‌ی B است. * **$B \subseteq C$ (درست):** زیرا دایره‌ی B کاملاً داخل دایره‌ی C است. * **$B \subseteq A$ (نادرست):** زیرا دایره‌ی B بزرگتر از A است و شامل آن می‌شود، اما داخل آن نیست. قسمت‌هایی از B وجود دارد که در A نیست. * **$A \not\subseteq C$ (نادرست):** این عبارت ادعا می‌کند A زیرمجموعه C نیست. اما چون A داخل B و B داخل C است، پس A کاملاً داخل C قرار دارد. بنابراین $A \subseteq C$ درست است. * **$C \not\subseteq A$ (درست):** زیرا دایره‌ی C بزرگترین دایره است و A را در بر می‌گیرد. قسمت‌های زیادی از C وجود دارد که در A نیست. * **$\emptyset \subseteq A$ (درست):** این یک قانون کلی در ریاضیات است. مجموعه‌ی تهی ($ \emptyset $) زیرمجموعه‌ی هر مجموعه‌ای محسوب می‌شود.

پاسخ تشریحی: برای بررسی هر عبارت، از تعاریف «عضو بودن» ($ \in $) و «زیرمجموعه بودن» ($ \subseteq $) استفاده می‌کنیم. * **$۲ \in A$ (نادرست):** عدد ۲ در فهرست اعضای مجموعه‌ی A وجود ندارد. * **$A \not\subseteq C$ (درست):** یعنی A زیرمجموعه‌ی C نیست. این درست است، زیرا عضو ۴ در A هست ولی در C نیست. * **$B \subseteq C$ (درست):** تمام اعضای B ($۱, ۳, ۵$) در مجموعه‌ی C نیز وجود دارند. * **$A \subseteq B$ (نادرست):** اعضای ۴ و ۶ در A هستند ولی در B نیستند. * **$۳ \subseteq B$ (نادرست):** این یک خطای نوشتاری است. نماد $ \subseteq $ برای مقایسه‌ی دو مجموعه به کار می‌رود. ۳ یک عدد (عضو) است، نه یک مجموعه. عبارت درست می‌توانست $۳ \in B$ یا $ \{۳\} \subseteq B $ باشد. * **$B \not\subseteq A$ (درست):** یعنی B زیرمجموعه‌ی A نیست. این درست است، زیرا عضو ۵ در B هست ولی در A نیست. * **$۵ \in C$ (درست):** عدد ۵ در فهرست اعضای مجموعه‌ی C وجود دارد. * **$\{۵,۶\} \subseteq C$ (درست):** هم عضو ۵ و هم عضو ۶ در مجموعه‌ی C وجود دارند. * **$۶ \notin A$ (نادرست):** یعنی ۶ عضو A نیست. این نادرست است، زیرا عدد ۶ در فهرست اعضای A وجود دارد. * **$\{۱,۴\} \in A$ (نادرست):** این عبارت یعنی «مجموعه‌ی $ \{۱,۴\} $» خودش یکی از اعضای A است. اعضای A اعداد هستند، نه مجموعه. عبارت درست $ \{۱,۴\} \subseteq A $ است. * **$\emptyset \subseteq A$ (درست):** مجموعه‌ی تهی زیرمجموعه‌ی تمام مجموعه‌ها است.

پاسخ تشریحی: یک قانون مهم: اگر یک مجموعه $n$ عضو داشته باشد، تعداد کل زیرمجموعه‌های آن برابر با $2^n$ است. **الف) مجموعه‌ی عددهای طبیعی بین ۹ و ۱۲** ابتدا خود مجموعه را مشخص می‌کنیم. اعداد طبیعی بین ۹ و ۱۲ شامل ۱۰ و ۱۱ هستند. پس مجموعه ما $ M = \{10, 11\} $ است. این مجموعه ۲ عضو دارد ($n=2$)، پس باید $2^2 = 4$ زیرمجموعه داشته باشد. زیرمجموعه‌ها عبارتند از: * زیرمجموعه‌ی صفرعضوی (تهی): $ \emptyset $ * زیرمجموعه‌های یک‌عضوی: $ \{10\} $, $ \{11\} $ * زیرمجموعه‌ی دوعضوی (خود مجموعه): $ \{10, 11\} $ لیست کامل: $ \emptyset, \{10\}, \{11\}, \{10, 11\} $ **ب) $ \{a,b,c,d\} $** این مجموعه ۴ عضو دارد ($n=4$)، پس باید $2^4 = 16$ زیرمجموعه داشته باشد. برای اینکه چیزی از قلم نیفتد، آنها را بر اساس تعداد اعضا می‌نویسیم: * **زیرمجموعه‌ی صفرعضوی (۱ عدد):** $ \emptyset $ * **زیرمجموعه‌های یک‌عضوی (۴ عدد):** $ \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\} $ * **زیرمجموعه‌های دوعضوی (۶ عدد):** $ \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{b,c\}, \{b,d\}, \{c,d\} $ * **زیرمجموعه‌های سه‌عضوی (۴ عدد):** $ \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d\} $ * **زیرمجموعه‌ی چهارعضوی (۱ عدد):** $ \{a,b,c,d\} $